Unterabschnitte

• 1.3.1 Koordinatensysteme
• 1.3.2 Drehungen
• 1.3.3 Darstellung mit Quaternionen

1.3 Mathematischer Formalismus

Diese Bewegung wird mathematisch beschrieben entweder über Drehmatrizen, oder, inhaltlich gleichwertig und formal eleganter - aber weniger verbreitet - über Vierer-Vektoren, sogenannte Quaternionen. Obwohl in dieser Arbeit grundsätzlich die Darstellung mit Drehmatrizen für alle Probleme gewählt wird, werde ich am Ende dieses mathematischen Abschnittes aus Gründen der Vollständigkeit einen kurzen Überblick auch über die Formulierung mit Quaternionen geben.

1.3.1 Koordinatensysteme

Da für spätere Betrachtungen stets definierte Punkte oder Punktmengen auf der Iris von Bedeutung sind, wird für solche Punkte zunächst ein Polarkoordinatensystem (Abbildung 1.3) eingeführt, dessen Ursprung im Zentrum der Pupille liegt, und dessen r-Achse bei geradeaus blickendem Auge von vorne betrachtet nach rechts weisen soll. In diesem augenfesten Koordinatensystem hat ein Punkt die Koordinaten $\vec{x}_{iris}={r_{iris} \choose \varphi_{iris}}$.

  

Abbildung 1.3: Koordinatensystem auf der Iris

Für die dreidimensionale Beschreibung der Augenposition wählen wir ein kopffestes, euklidisches rechtshändiges Koordinatensystem, dessen positive x-Achse von vorne betrachtet nach rechts, dessen positive y-Achse von vorne betrachtet nach oben und dessen positive z-Achse nach vorne in Referenzrichtung weisen soll (Abbildung 1.4). Referenzrichtung heißt dabei jene Richtung, in die die optische Achse weist, wenn das Auge geradeaus nach vorne blickt. Dieses Koordinatensystem heißt von nun an das ``kopffeste Koordinatensystem''.

Im kopffesten Koordinatensystem hat der Pupillenmittelpunkt in Referenzposition (Blick nach vorne) die Koordinaten

$$\vec{x}_{ref,kopf}= \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ R_{auge} \end{array} \right)$$ (1.1)

Dabei ist R_auge, wie im vorigen Abschnitt beschrieben, der Abstand vom Zentrum des Augapfels zum Mittelpunkt der Pupille.

  

Abbildung 1.4: Lage der Achsen des kopffesten Koordinatensystems, Auge in Referenzposition

1.3.2 Drehungen

Die im Folgenden notwendige Zerlegung einer allgemeinen Drehung des Auges in Einzeldrehungen um drei verschiedene Achsen wirft ein grundsätzliches mathematisches Problem auf: Da Drehungen um endliche Winkel nicht kommutativ sind, ist es von großer Bedeutung für den Wert der Drehwinkel, in welcher Reihenfolge die einzelnen Drehungen ausgeführt werden und ob es sich um aktive oder passive Drehungen handelt.

Bei passiven Drehungen wird um mit dem Objekt geführte Achsen gedreht, das heißt eine Drehung des Auges um 45 nach links führt dazu, daß eine anschließende Drehung nach oben nicht um die kopffeste horizontal von Ohr zu Ohr verlaufende Achse sondern um die mit dem Auge um 45 gedrehte Achse erfolgt. Offensichtlich ist die Endposition eine andere, wenn - wie bei aktiven Drehungen - die Achse für vertikale Drehungen durch die horizontale Drehung nicht verändert wird.^1.5

Für die Beschreibung dreidimensionaler Drehungen gibt es zusätzlich bei gleichen Drehachsen mehrere Möglichkeiten, die Reihenfolge der Drehungen zu wählen, von denen dann abhängt, welche Drehwinkel zum Erreichen einer gegebenen Endposition nötig sind.

Zwei gebräuchliche Varianten sind die Fick- und die Helmholtz-Winkel. Im Helmholtz-System wird (bei Betrachtung aktiver Drehungen) zunächst die horizontale, dann die vertikale und zuletzt die torsionelle Drehung ausgeführt, in Fick-Winkeln erfolgt zuerst die vertikale, dann die horizontale, und schließlich die torsionelle Drehung.^1.6

Alle Berechnungen in dieser Arbeit erfolgen mit aktiven Drehungen im Helmholtz-Winkel-System.^1.7

Die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf der Iris bei Blick geradeaus im kopffesten Koordinatensystem erhalten wir durch Verschiebung aus der Referenzposition um r_iris in Richtung der positiven x-Achse und anschließende Drehung um $\varphi_{auge}$ um die z-Achse in mathematisch positiver Richtung.

Ein beliebiger Punkt auf der Iris in Referenzposition hat damit im kopffesten Koordinatensystem die Koordinaten

$$\vec{x}_{iris}= \left( \begin{array}{ccc} \cos( \varphi_{iri... ...gin{array}{c} r_{iris} \\ 0 \\ R_{auge} \end{array} \right)$$ (1.2)

und somit:

$$\vec{x}_{iris}=\left( \begin{array}{c} \cos(\varphi_{iris}) r... ...\sin(\varphi_{iris}) r_{iris} \\ R_{auge} \end{array} \right)$$ (1.3)

Dieser im kopffesten Koordinatensystem beschriebene Punkt wird nun gemäß Abschnitt 1.2 zunächst um den Winkel $\theta$ in horizontaler Richtung gedreht, anschließend um den Winkel $\phi$ in vertikaler.

Da die Drehung in vertikaler Richtung um einen anderen Drehpunkt erfolgt, wird zunächst die Drehmatrize für die horizontale Drehung anmultipliziert, dann der Ursprung um den Parameter d in z-Richtung verschoben, nun die Drehmatrize für die vertikale Drehung aufmultipliziert und schließlich der Ursprung um d in negativer z-Richtung zurückgeschoben.

Damit erhalten wir für die Koordinaten eines allgemeinen Punktes auf dem Auge, wenn das Auge um $\theta$ in horizontaler und um $\phi$ in vertikaler Richtung gedreht wurde, folgenden Ausdruck:

$$\vec{x}_{kopf} \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ d \end{array} \right) + \left... ...s(\phi) & -\sin(\phi) \\ 0 & \sin(\phi) & \cos(\phi) \end{array} \right) \cdot$$ =

$$\left[ \left( \begin{array}{ccc} \cos(\theta) & 0 & \sin(\theta) ... ...ec{x}_{iris} - \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ d \end{array}\right) \right]$$ (1.4)

Die eckige Klammer ergibt dann, setzt man $\vec{x}_{iris}$ wie oben:

$$\left[ \begin{array}{c} {} \\ \cdots \\ {} \end{array} \right... ...ris}) r_{iris} + \cos(\theta) R_{auge} - d \end{array} \right)$$ (1.5)

Dies ergibt insgesamt für die Koordinaten eines allgemeinen Punktes auf der Iris nach Drehung des Auges im kopffesten System, wenn man

$$\mathcal{Z} = {}-\sin(\theta) \cos(\varphi_{iris}) r_{iris} + \cos(\theta) R_{auge} - d$$ (1.6)

setzt:

$$\vec{x}_{kopf}=\left( \begin{array}{c} \cos(\theta) \cos(\var... ...s}) r_{iris} + \cos(\phi) \mathcal{Z} + d \end{array} \right)$$ (1.7)

und insbesondere für die Koordinaten des Pupillenmittelpunktes in beliebiger Position mit r_iris=0 und damit $\mathcal{Z}=\cos(\theta) R_{auge} -d$:

$$\vec{x}_{pupille,kopf}=\left( \begin{array}{c} \sin(\theta) R... ...cos(\theta) R_{auge} + d (1 - \cos(\phi)) \end{array} \right)$$ (1.8)

1.3.3 Darstellung mit Quaternionen

Quaternionen wurden zuerst durch den irischen Mathematiker William Rowan Hamilton in die Mathematik eingeführt, der Legende zufolge ''sprangen die Quaternionen ins Licht, oder ins Leben, voll entwickelt'', als er mit seiner Frau die Brougham Bridge in Dublin überquerte. Hamilton war von seinem Einfall wie elektrisiert und gravierte die grundlegenden Rechenregeln auf der Stelle mit einem Messer in die hölzerne Brüstung.

Der Grundgedanke der Quaternionen ist die Erweiterung des gewöhnlichen, dreidimensionalen rechtshändigen euklidischen Koordinatensystems um eine weitere skalare Komponente, so daß ein Quaternion als

$$\mathbf{q} = q_0 + q_1 \vec{e}_1 + q_2 \vec{e}_2 + q_3 \vec{e}_3 = q_0 + \vec{q}$$ (1.9)

geschrieben werden kann. Hier sind die $\vec{e}_i$ die gewöhnlichen Normaleneinheitsvektoren des $\mathcal{R}^3$. Zusätzlich zu den üblichen Vektoroperationen existiert nun eine nichtkommutative, bilineare und assoziative Operation, das Quaternionen-Produkt, das folgenden Regeln gehorcht:

$$\vec{e}_i \, \vec{e}_i$$ = -1 (1.10)

$$\vec{e}_1 \, \vec{e}_2 - \vec{e}_2 \, \vec{e}_1 = \vec{e}_3$$ = (1.11)

$$\vec{e}_2 \, \vec{e}_3 - \vec{e}_3 \, \vec{e}_2 = \vec{e}_1$$ = (1.12)

$$\vec{e}_3 \, \vec{e}_1 - \vec{e}_1 \, \vec{e}_3 = \vec{e}_2$$ = (1.13)

Damit ergibt sich für die Kombination zweier Quaternionen $r=p\,q$ das folgende Schema:

r₀ = p₀ q₀ - p₁ q₁ - p₂ q₂ - p₃ q₃ (1.14)

r₁ = p₀ q₁ + p₁ q₀ + p₂ q₃ - p₃ q₂ (1.15)

r₂ = p₀ q₂ + p₂ q₀ - p₁ q₃ + p₃ q₁ (1.16)

r₃ = p₀ q₃ + p₃ q₀ + p₁ q₂ - p₂ q₁ (1.17)

Oder, kürzer:

$$\mathbf{r} = q_0 \mathbf{p} + p_0 \mathbf{q} + \mathbf{q} \times \mathbf{p}$$ (1.18)

Der Betrag eines Quaternions ist $\vert\mathbf{q}\vert=\sqrt{q_0^2+q_1^2+q_2^2+q_3^2}$. Zu jedem Quaternion existiert ein Inverses q^-1, so daß für ihr Quaternionenprodukt $\mathbf{q}\,\mathbf{q}^{-1} = \mathbf{q}^{-1} \, \mathbf{q} = 1$ gilt. Wie sich leicht zeigen läßt, ist das Inverse zu q

$$\mathbf{q}^{-1}=\frac{q_0 - q_1 - q_2 - q_3}{\vert\mathbf{q}\vert^2}=\frac{q_0-\vec{q}}{\vert\mathbf{q}\vert^2}$$ (1.19)

Für die Formulierung räumlicher Drehungen mittels Quaternionen ist die Darstellung eines Einheitsquaternions als

$$\hat{\mathbf{q}} = \cos(\Theta) + n_1 \sin(\Theta) + n_2 \sin(\Theta) + n_3 \sin(\Theta) = \cos(\Theta) + sin(\Theta) \hat{n}$$ (1.20)

von Vorteil. $\hat{n}$ heißt in diesem Fall die Achse, $\Theta$ der Winkel des Quaternions. Achse und Winkel eines Nicht-Einheitsquaternions lassen sich durch Normalisierung und Bestimmung der Achse und des Winkels des zugeordneten Einheitsquaternions berechnen.

Die Operation

$$\vec{v}' = \mathbf{q} \, \vec{v} \, \mathbf{q}^{-1}$$ (1.21)

rotiert nun den Vektor $\vec{v}$ um die Achse von q um den doppelten Winkel von q.

Der Hintereinanderausführung von Drehungen entspricht dabei die Drehung mit dem Quaternionenprodukt der zugeordneten Quaternionen. Die x-te Potenz eines Quaternions, die nach

$$\mathbf{q}^x = \vert\mathbf{q}\vert^x [\cos(x\,\Theta) + \hat{n}\sin(x\,\Theta)]$$ (1.22)

berechnet werden kann, entspricht offensichtlich einer Drehung um den x-fachen Drehwinkel.

Schließlich läßt sich durch Bildung von rqr^-1 die Drehachse von qentsprechend der Abbildung, die das Quaternion r vermittelt, drehen, wobei der Drehwinkel von q erhalten bleibt.

Wie aus dieser kurzen Übersicht klar wird, ist die Darstellung von komplizierten dreidimensionalen Drehungen durch Quaternionen an Einfachheit und Kompaktheit schwer zu überbieten. Ich habe mich aus Gründen der Übersichtlichkeit - und obwohl Hamilton selbst die Quaternionen für seine größten Beitrag zur Mathematikgeschichte hielt - dafür entschieden, in dieser Arbeit der gängigen Darstellung mit Matrizen zu folgen. Diese kurze Darstellung des Quaternionenkalküls folgt Abschnitt 7 von [Tweed 1996].