5.2 Exakter Meßalgorithmus

Die Annahme, daß der Pupillenmittelpunkt sich bei Drehungen des Auges in einer Ebene bewegt, die parallel zur Kameraebene liegt, führt zwar, wie in Anhang B dargestellt, auf einen Fehler von maximal lediglich etwa 0.5 bei Auslenkungen von bis zu 20 in gleichzeitig horzontaler und vertikaler Richtung und wäre somit tolerierbar.

Es handelt sich jedoch um einen systematischen Fehler, der durch exakte Rechnung beseitigt werden kann. Daher wird hier der exakte Algorithmus für die Messung von horizontalen und vertikalen Augenpositionen gegeben.

Wie man sich aus der Darstellung des Drehmodells klar machen kann, bewegt der Mittelpunkt der Pupille sich bei Drehungen des Auges in horizontaler und vertikaler Richtung auf einem Torus, dessen Grundradius dem Parameter d, und dessen zweiter Radius dem Augenradius R_augeentspricht (Siehe Abbildung 5.1 und 5.2).

  

Abbildung 5.1: Ort der Pupillenmittelpunkte bei Drehung des Auges. Die Drehachse für vertikale Drehungen verläuft parallel zur x-Achse durch den Punkt D und hat zum Ursprung des Koordinatensystems den Abstand d. Die Drehachse für horizontale Drehungen verläuft tangential zum eingezeichneten Kreis um D durch den Punkt M, der sich mit vertikaler Auslenkung auf den Kreis bewegt und in der Ruhestellung im Ursprung liegt. Die eingezeichneten gefärbten Kreise entsprechen rein horizontalen bzw. rein vertikalen Auslenkungen. Durch eine vertikale Bewegung des Auges wird also der Kreis horizontaler Auslenkung um die durch D verlaufende Achse gekippt. Ein solchermaßen sich ergebender gekippter Kreis ist durchbrochen eingezeichnet. Auf ihm liegt der allgemeine Punkt P, für den sich die Torusgleichung direkt ablesen läßt. Der Punkt P' stellt die Projektion von P auf die z-y-Ebene, der Punkt P'' die Projektion von P' auf die z-Achse dar. Damit gilt für das Dreieck DP'P'': (DP')² = (P'P'')² + (DP')² = y² + (z-d)². Damit erhalten wir $MP'=d + DP'=d+\sqrt{y^2+(z-d)^2}$. Aus dem Dreieck MPP' erhalten wir dann die eigentliche Torusgleichung: $R_{auge}^2 = (MP)^2 = (MP')^2 + (PP')^2 = (d+\sqrt{y^2+(z-d)^2})^2 + x^2$. Die Winkel $\phi$ und $\theta$ finden wir in der Zeichung als die Winkel $\phi=PMP'$ und $\theta=P''DP'$. Siehe auch Abbildung 5.2.

  

Abbildung: Für eine extrem große axiale Verschiebung d tritt die entstehende Torusform besser erkennbar hervor. Der Torus in diesem Bild entsteht völlig analog zu dem in Abbildung 5.1 gezeigten durch Rotation des Kreises horizontaler Auslenkung um die durch den Punkt D verlaufende Achse.

Für einen allgemeinen Punkt P(x,y,z) auf dem Torus gilt nun:

$$x^2+ \left[ \sqrt{y^2 + (z-d)^2} +d \right]^2 = R_{auge}^2$$ (5.1)

Zur Ableitung dieser Gleichung siehe Abbildung 5.1.

Das allgemeine Problem einer Messung mit dem Video-Okulographie-System ist nun, die durch die Lage der Linse und die Lage des Meßpunktes im Kamerabild definierte Gerade mit diesem Torus zu schneiden.

Diese Gerade verläuft durch die beiden Punkte (0,0,g) (Linsenzentrum) und (x,y,b+g)(Bildpunkt) und hat damit, parametrisiert in z, die Gleichung

$$\vec{x}_{abb}=\frac{z-g}{b} \left( \begin{array}{c} x_{bild} \\ y_{bild} \\ z \frac{b}{z-g} \end{array} \right)$$ (5.2)

Das eingesetzt in die Torusgleichung 5.1 ergibt eine Gleichung 4. Ordnung für z:

$$\left( x_{bild} \frac{b}{g-z} \right)^2 + \left[ \sqrt{ \left... ...d} \frac{b}{g-z} \right)^2 + (z-d)^2} +d \right]^2=R_{auge}^2$$ (5.3)

Zwar ließe sich diese Gleichung prinzipiell in geschlossener Form lösen. Diese Lösung fiele allerdings reichlich unhandlich aus, so daß eine numerische Lösung naheliegt.

Abermals wird hierfür ein Nelder-Mead-Verfahren verwandt, diesmal im eindimensonalen Raum des Parameters z.

Ist mit dem numerischen Verfahren nun z ermittelt, so können wie im Fall der Ebenen-Näherung die Winkelkoordinaten $\phi, \theta$ aus $x_{bild}, y_{bild}, \mathcal{F}=\frac{g-z}{b}$und den Kalibrationsparametern nach Gleichung 1.42 bestimmt werden.

Die Simulation von Messungen zeigt, daß der Meßfehler sich mit diesem Verfahren im Rahmen der numerischen Genauigkeit des verwendeten Systems bewegt. Siehe dazu die drei Zeichnungen ab Seite .