3.4 Das verwendete Abbildungsmodell

Für die Simulationsalgorithmen wird dabei vereinfachend eine Parallelprojektion aus den Kopfkoordinaten in die Kamerakoordinaten angenommen. Zusätzlich wird die Kamerarotation auf null gesetzt. Beide Faktoren würden bei korrekter Implementierung Übersichtlichkeit und Handhabbarkeit der Simulationsalgorithmen verringern, ohne etwas zum Verständnis der Problemes beizutragen. Zudem bedeuten die Vereinfachungen eine Verbesserung der Bedingungen, denn die tatsächliche Zentralprojektion durch die Kameralinse führt zu einer Verzerrung des Bildes, die das tatsächliche Ergebnis nur verschlechtern kann.

Die mathematischen Grundlagen für die Abbildungen sind im Einführungsteil bereits dargestellt worden. Aus Gleichung 1.7 entnimmt man die Kopf-Koordinaten eines allgemeinen Punktes auf der Iris, die sich bei Parallelprojektion direkt in die Kameraebene übertragen. Damit sind die Kamerakoordinaten eines allgemeinen Punktes auf der Iris:

$$\left( \begin{array}{c} x_{bild} \\ y_{bild} \end{array}... ...t( \begin{array}{c} x_{ref} \\ y_{ref} \end{array} \right)$$ (3.1)

mit $\mathcal{Z}$ wie in Gleichung 1.6:

$$\mathcal{Z} = {}-\sin(\theta) \cos(\varphi_{iris}) r_{iris} + \cos(\theta) R_{auge} - d$$ (3.2)

Aus diesen Gleichungen lassen sich sehr leicht die Polarkoordinaten auf der Iris aus den Kopfkoordinaten berechnen:

Zunächst wird die erste Zeile von Gleichung 3.1 nach $\cos(\varphi_{iris})r_{iris}$ aufgelöst:

 

$$\cos(\varphi_{iris})r_{iris} \frac{ x_{bild} - x_{ref} - \sin(\theta) R_{auge} } { \cos(\theta) }$$ = (3.3)

Durch Einsetzen von Gleichung 3.3 in Gleichung 3.2 erhalten wir $\mathcal{Z}$, womit sich die zweite Zeile von Gleichung 3.1 nach $\sin(\varphi_{iris})r_{iris}$ auflösen läßt:

 

$$\sin(\varphi_{iris})r_{iris} \frac{y_{bild}-y_{ref}+\sin(\phi) \mathcal{Z}}{\cos(\phi)}$$ = (3.4)

Durch Bildung von $\tan(\varphi_{iris})$ erhalten wir dann:

$$\tan(\varphi_{iris}) \frac{ \cos(\varphi_{iris})r_{iris} }{ \sin(\varphi_{iris})r_{iris} }$$ = (3.5)

und damit für $\varphi_{iris}$:

$$\varphi_{iris} = tan^{-1} \left( \frac{ \cos(\phi) [x_{bild}-x_{r... ...R_{auge}]} {\cos(\theta) [y_{bild} - y_{ref} + \sin(\phi) \mathcal{Z}]} \right)$$ (3.6)

und schließlich mit diesem $\varphi_{iris}$:

$$\frac{sin(\varphi_{iris})r_{iris}}{sin(\varphi_{iris})}$$ r_iris =

$$\frac{y_{bild}-y_{ref} + \sin(\phi) \mathcal{Z}} {\sin(\varphi_{iris}) \cos(\phi)}$$ =