Unterabschnitte

• 2.6.1 Analytische Überprüfung
• 2.6.2 Überprüfung durch Simulation

2.6 Überprüfung der Stabilität

2.6.1 Analytische Überprüfung

Die analytische Untersuchung der Stabilität des so geschilderten Algorithmus ist zwar prinzipiell möglich, der dafür erforderliche mathematische Aufwand steht jedoch in keinem vernünftigen Verhältnis zum Nutzen. Daher wurde auf die analytische Berechnung verzichtet und die Stabilität stattdessen in Simulationen überprüft.

Für die weitere Bewertung des Algorithmus siehe Abschnitt 5.1.

2.6.2 Überprüfung durch Simulation

Um die Stabilität und Leistungsfähigkeit des so entworfenen Kalibrationsalgorithmus in der Praxis zu überprüfen, wurden Kalibrations-Simulationen durchgeführt und die Fehler des Algorithmus berechnet.

Dazu wurden für 1 bis 13 Fixationspunkte jeweils die fünf Kalibrationsparameter und die Winkelkoordinaten der Punkte ausgewählt, anschließend zu den Winkelkoordinaten ein normalverteilter Fixationsfehler addiert und aus den so gestörten Winkeln die Pixelkoordinaten der Punkte in der Kameraebene nach den Transformationsgleichungen berechnet. Schließlich wurden die ungestörten Winkelkoordinaten und die berechneten zugehörigen (gestörten) Pixelkoordinaten dem Kalibrationsalgorithmus übergeben.

Die vom Algorithmus zurückgelieferten Werte für die fünf Parameter wurden mit den ursprünglichen Parametern verglichen und die Abweichung von den Vorgabewerten berechnet.

Dieses Verfahren wurde für jede Anzahl von Punkten zwanzigmal durchgeführt, und die Fehler bei der Bestimmung der einzelnen Parameter über diese 20 Durchläufe durch Bildung der Wurzel der mittleren Quadrate der Abweichungen bestimmt.

Die Winkelkoordinaten der Fixationspunkte werden nach zwei verschiedenen Verfahren festgelegt. Das erste wählt die Punkte in einem Raster mit 5-Grad-Schritten, das zweite verteilt die Punkte statistisch in der $\theta$-$\phi$-Ebene und vermeidet dabei Punkte, die sehr nahe am Referenzpunkt liegen, um die Bestimmung des Drehwinkels Alpha für alle Punkte zu ermöglichen.

An den Ergebnissen der Simulation^2.6 ist deutlich erkennbar, daß der Algorithmus ab 6 Kalibrationspunkten hervorragend konvergiert, und auch für 4 und 5 Punkte brauchbare Ergebnisse liefern kann.

Der statistische Fehler bei den Fixationen wirkt sich - wie zu erwarten ist - hauptsächlich in den Parametern R_auge und d aus und erreicht bei schon bei Abweichungen von einem Viertelgrad in beiden Winkeln die Größenordnung der interindividuellen Schwankung dieser Parameter.

Abhilfe kann hier einerseits durch Anpassung des Zielfunktionals für den numerischen Fit geschaffen werden, das heißt, indem bei Erreichen oder Überschreiten der physiologischen Grenzen dieser Parameter ein zusätzlicher Term eingeführt wird, der das Zielfunktional stark anwachsen läßt.

Andererseits zeigte sich in den Simulationen, daß der verwendete Nelder-Mead-Fit in Einzelfällen nicht optimal konvergiert. Dieses Verhalten tritt nur bei zufälliger Verteilung der Fixationspunkte auf, was bedeutet, daß eine geschickte Wahl dieser Punkte, zum Beispiel Anordnung auf einem Gitterraster, die Güte der Kalibration verbessern kann.