2.4 Optimierung im vierdimensionalen Parameterraum

Für die eigentliche Kalibration wird ein numerischer Algorithmus herangezogen, der mit obiger Formel und den vorgegebenen Winkel- und den gemessenen Pixelkoordinaten die vier gesuchten Parameter durch Minimierung der Standardabweichung bestimmt. Es handelt sich dabei um ein Nelder-Mead Simplex-Verfahren^2.4, bei dem im N-dimensionalen Raum N+1-Punkte gewählt werden, die eine nicht degenerierte Figur (d.h. eine Figur mit endlichem Rauminhalt), das Simplex, aufspannen.

Als Startpunkt im vierdimensionalen Raum wählt man beim vorliegenden Problem die statistischen Mittel für den Augenradius und den Parameter d sowie die Winkelkoordinaten des Fixationspunktes mit dem kleinsten erwarteten Abstand vom Referenzpunkt bei diesen Werten für R_auge und d.^2.5

Die anderen N Eckpunkte des Simplex kann man nun beispielsweise erhalten, indem man den Startpunkt in die Richtungen der N Basisvektoren um einen charakteristischen Betrag verschiebt, etwa für R_augeden durchschnittlichen Radius, für d die doppelte physiologische Standardabweichung der Verschiebung der Verschiebung und für x_ref die Ausdehnung des aufgenommenen Bildes.

Es werden dann die Funktionswerte an den N+1 Punkten bestimmt und der Größe nach geordnet. Für die Iterationsschritte wird nun der Punkt mit dem größten Funktionswert durch die gegenüberliegende Fläche des Simplex bewegt, so daß das Volumen der Figur erhalten bleibt. Bleibt der Punkt dabei der Punkt mit dem größten Funktionswert, wird eine ein- oder mehrdimensionale Kontraktion des Simplex um den Punkt mit dem geringsten Funktionswert vorgenommen.

Der Algorithmus kann abgebrochen werden, wenn entweder die Vektordistanz, um die die Punkte in einem Schritt bewegt werden, unter eine vorgegebene Schwelle fällt, oder wenn die Abnahme der Funktionswerte an dem Punkt, der verändert wurde, unter eine solche Schwelle fällt.

Dieser Algorithmus kommt gänzlich ohne die Berechnung der Ableitungen der Funktion $\mathcal{S}$ aus. Dies vereinfacht zwar die Programmierung, führt aber dazu, daß das Konvergenzverhalten nicht optimal ist. Durch Verwendung eine höherwertigen numerischen Optimierungsverfahrens, etwa des Newton-Verfahrens, kann daher die Stabilität des Algorithmus noch erhöht werden.